Para introducirnos en el tema de los números perfectos y amigos, es necesario conocer diferentes conceptos que nos ayudarán a comprender con más facilidad el mismo.
Luego de haber explicado dichos conceptos, nos dirigiremos a conocer su historia, y aplicar algún teorema con su respectiva demostración.
Al finalizar presentaremos un programa en Python realizado por nosotros basado en el tema.
Divisibilidad
Es la propiedad en la que un número entero se divide por otro, dando como resultado un número entero.
Criterios de divisibilidad:
Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta, es decir, da resto 0.
Criterios de divisibilidad:
Un número b es divisible por otro a cuando la división es exacta, es decir, da resto 0.
Números compuestos
Un número compuesto tiene más de dos divisores, ya que se puede dividir por sí mismo, por la unidad y por otros números.
Números primos
Un número primo es aquel que solo tiene dos divisores, estos son: él mismo número y la unidad (1).
Números amigos
Dos números son amigos cuando la suma de los divisores propios de uno de ellos es igual al otro número y viceversa.
Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, si los sumamos da 284.
Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142, al sumarlos da 220.
Debido a esto los números 220 y 284 son amigos.
Los divisores de 220 son: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110, si los sumamos da 284.
Los divisores de 284 son: 1, 2, 4, 71 y 142, al sumarlos da 220.
Debido a esto los números 220 y 284 son amigos.
Números perfectos
Es un número natural que presenta la propiedad de ser igual a la suma de sus divisores, excluyéndose él mismo, es decir, es aquel que es amigo de sí mismo.
Un ejemplo de número perfecto es el 6, cuyos divisores son: 1, 2, 3, 6, como el mismo número se excluye, si sumamos 1+2+3 = 6.
Un ejemplo de número perfecto es el 6, cuyos divisores son: 1, 2, 3, 6, como el mismo número se excluye, si sumamos 1+2+3 = 6.
Conociendo la historia de los números amigos...
El hallazgo del primer par de números amigos lo hizo
Pitágoras hace 15 siglos, demostrando que los números 220 y 284 eran números
amigos. El que se creía el segundo par de números amigos se descubrió en 1636.
Lo encontró Pierre De Fermat, y se trataba de los números 18416 y 19296, aunque
se demostró después que no cumplían los requisitos de ser números amigos.
En 1867 un joven de 16 años llamado Nicolo Paganini
sorprendió al mundo al demostrar que los números 1184 y 1210 eran amigos.
Siendo este el segundo par de números amigos encontrados.
Para el 2007 se conocen más de mil pares de números amigos,
y el mayor de ellos está formado por dos números de 152 dígitos.
Todos los pares de amigos impares descubiertos son múltiplos
de tres, se desconoce de alguna fórmula que permita calcular todos los pares de
números amigos y se desconoce también si su número sería finito o infinito.
Algunos ejemplos de pares de números amigos menores que
100000 son: 6232 y 6368, 63020 y 76084, 79750 y 88730.
Conociendo la historia de los números perfectos...
El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros
números perfectos (6, 28, 496, 8128) vienen dados por la fórmula 2 n-1 x ((2n)-1). Al darse cuenta de que (2n)-1 es un número primo en cada caso, gracias a esto, Euclides pudo asegurar que
esta fórmula genera un número perfecto.
Los matemáticos de la antigüedad hicieron muchas
suposiciones sobre los números perfectos, basándose en los cuatro que ya
conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas; una de ellas
es que como 2, 3, 5 y 7 son los primeros números primos, el quinto número
perfecto se obtendría reemplazando la n por 11 en la fórmula de Euclides,
siendo este el quinto número primo. Sin embargo, al calcular esto, el resultado
que nos da no es primo, y por lo tanto n=11 no genera un número perfecto.
Otra suposición era que el quinto número perfecto tendría
cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Se
puede decir que esto es erróneo ya que éste tiene ocho dígitos (33550336).
Por último, se suponía que los números perfectos terminarían
alternativamente en 6 y en 8, esto no se cumple ya que el quinto número termina
en 6 pero el sexto también (8589869056), entonces, el final no es 8 y 6 de
forma alternativa.
En 1603 Pietro Cataldi halló los números perfectos sexto y
séptimo: 8589869056 y 137438691328 respectivamente.
Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula (2n)-1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del
siglo XVII, Marín Mersenne, quien estudió la teoría de números y de números
perfectos.
Posteriormente, Leonhard Euler, demostró en el siglo XVIII
que todos los números pares perfectos son generados a partir de la fórmula que Euclides
ya descubrió.
Se desconocen números perfectos impares. Sin embargo,
existen diversos resultados parciales al respecto.
¿Cómo hallamos los números amigos?
No se ha demostrado un teorema en concreto pero existe una formula para poder hallarlos:
si
- p = 3 × 2n-1 - 1,
- q = 3 × 2n - 1,
- r = 9 × 22n-1 - 1,
donde n > 1 es entero y p, q, y r son números primos, entonces
- 2npq y 2nr son un par de números amigos.
¿Cómo hallamos los números perfectos?
Existe un teorema sobre los números perfectos, pero no es cien por ciento certero, este es “el teorema de Euclides-Euler de los números perfectos”, el mismo establece que:
Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto. Y además todo número perfecto par es de esta forma.
Un número perfecto N, es el que la suma de sus divisores S(N) es dos veces mayor que el propio número. Por lo tanto, si S(N) = 2N, N es un número perfecto.
Como no se ha demostrado un teorema exacto y concreto sobre estos números, podemos encontrar una fórmula que nos sirve para hallarlos:
.Cambiando el valor de n por los primeros cuatro números primos, se obtienen los números perfectos.
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