El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros
números perfectos (6, 28, 496, 8128) vienen dados por la fórmula 2 n-1 x ((2n)-1). Al darse cuenta de que (2n)-1 es un número primo en cada caso, gracias a esto, Euclides pudo asegurar que
esta fórmula genera un número perfecto.
Los matemáticos de la antigüedad hicieron muchas
suposiciones sobre los números perfectos, basándose en los cuatro que ya
conocían. Muchas de estas suposiciones han resultado ser falsas; una de ellas
es que como 2, 3, 5 y 7 son los primeros números primos, el quinto número
perfecto se obtendría reemplazando la n por 11 en la fórmula de Euclides,
siendo este el quinto número primo. Sin embargo, al calcular esto, el resultado
que nos da no es primo, y por lo tanto n=11 no genera un número perfecto.
Otra suposición era que el quinto número perfecto tendría
cinco dígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4 respectivamente. Se
puede decir que esto es erróneo ya que éste tiene ocho dígitos (33550336).
Por último, se suponía que los números perfectos terminarían
alternativamente en 6 y en 8, esto no se cumple ya que el quinto número termina
en 6 pero el sexto también (8589869056), entonces, el final no es 8 y 6 de
forma alternativa.
En 1603 Pietro Cataldi halló los números perfectos sexto y
séptimo: 8589869056 y 137438691328 respectivamente.
Hoy en día, a los números primos generados por la fórmula (2n)-1 se los conoce como números primos de Mersenne, en honor al monje del
siglo XVII, Marín Mersenne, quien estudió la teoría de números y de números
perfectos.
Posteriormente, Leonhard Euler, demostró en el siglo XVIII
que todos los números pares perfectos son generados a partir de la fórmula que Euclides
ya descubrió.
Se desconocen números perfectos impares. Sin embargo,
existen diversos resultados parciales al respecto.
Un detalle, no todas las potencias de 2 menos 1 dan números primos.
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